MOTION LAB
交互物理实验 · 非线性动力学

混沌摆

A little difference. A different path.

确定的规律,不可轻易预测的轨迹。探索双摆的混沌运动。

你的浏览器需要支持 Canvas 才能显示双摆。
双摆运动
基准摆 A对照摆 B
运行中
拖动摆球,改变初始角度
TIME0.00 s
微小差异如何放大末端距离 · 对数刻度
两摆末端距离
0.0002m
基准摆能量误差 ⓘ
0.0000%

一点差异,万千轨迹。

为什么是双摆?

两根摆杆、两个摆球,通过重力和关节耦合。大幅运动时,极小的初始差异可能迅速放大;小幅运动时,轨迹通常更有规律。混沌不意味着随机,也不意味着每一段运动都在混沌状态。

怎样观察?

默认的两组双摆仅上摆初始角相差 0.01°。青色是基准摆,珊瑚色是对照摆。让它们运行一会儿,观察末端距离曲线;切换「小幅摆动」作对比。拖动青色摆球,或直接修改角度数值,可以探索自己的初态。

模型与计算

模型将摆球视为质点,摆杆刚性且无质量,支点无摩擦。两组初始角速度均为零;角度从竖直向下计量,右侧为正。采用拉格朗日方程与固定步长的四阶 Runge–Kutta 数值积分(1/960 秒)。

x₁ = l₁ sin θ₁   y₁ = l₁ cos θ₁
x₂ = x₁ + l₂ sin θ₂   y₂ = y₁ + l₂ cos θ₂